Věty pro 4MM106
🇨🇿
In Checo
In Checo
Practique preguntas conocidas
Manténgase al día con sus preguntas pendientes
Completa 5 preguntas para habilitar la práctica
Exámenes
Examen: pon a prueba tus habilidades
Pon a prueba tus habilidades en el modo de examen
Aprenda nuevas preguntas
Popular en este curso
Aprende con fichas
Modos dinámicos
InteligenteMezcla inteligente de todos los modos
PersonalizadoUtilice la configuración para ponderar los modos dinámicos
Modo manual [beta]
El propietario del curso no ha habilitado el modo manual
Otros modos disponibles
Escuchar y deletrearOrtografía: escribe lo que escuchas
elección múltipleModo de elección múltiple
Expresión oralResponde con voz
Expresión oral y comprensión auditivaPractica la pronunciación
EscrituraModo de solo escritura
Věty pro 4MM106 - Marcador
Věty pro 4MM106 - Detalles
Niveles:
Preguntas:
79 preguntas
🇨🇿 | 🇨🇿 |
Gaussova a Jordanova metoda | Gaussova: převedeme matici na trojúhelníkový tvar Jordanova: převedeme na jednotkovou matici (nulujeme pod a nad hlavní diagonálou, na hlavní diagonále samé jedničky) |
Věta o maticovém řešení soustavy | Jestliže matice A je regulární, pak soustava lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení x = A^-1 * b |
Maticové rovnice | Jestliže A je regulární matice řádu n, B je libovolná matice typu n x p, pak maticová rovnice AX=B má právě jedno řešení X=A^-1*B. Za stejných podmínek má rovnice XA=B právě jedno řešení X=B*A^-1 |
Věta o navzájem inverzních maticích | Je-li A regulární matice, pak matice k ní inverzní A-1 je opět regulární a platí (A^-1)^-1 = A. |
Věta o existenci a jednoznačnosti inverzní matice | Inverzní matice A existuje jen tehdy, když A je regulární. je-li A regulární matice, pak inverzní matice k matici A je určena jednoznačně. |
Inverzní matice | Nechť A je čtvercová matice. Matice X, pro kterou platí AX = J se nazývá inverzní matice k matici A. |
Regulární a singulární matice | Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a má lineárně nezávislé řádky. Čtvercová matice, jejíž řádky jsou lineárně závislé, se nazývá singulární. |
Součin matic | Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p (stejný počet řádků). Matice X typu m x p, pro jejíž prvky xij (i=1,...,m; j=1,...n) platí xij = skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B se nazývá součin matic A,B a značí se AB. |
Reálný násobek matice | Nechť A je matice typu m x n, c je reálné číslo. Matice X typu m x n, pro jejíž prvky platí xij = caij (i=1,...,m;ji1,...,n) se nazývá reálný násobek matice A značí se cA. |
Součet matic | Nechť A, B jsou matice typu m x n. Matice X typu m x n, pro kterou platí xij = aij + bij (i=1,2...,m;j=1,...,n) se nazývá součet matic A,B a značí se A+B. X tedy odpovídá součtu složek v matici A a B. |
Věta o počtu řešení soustavy | Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic (S) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí: a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení. b) Jestliže h<n, soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
Věta o počtu řešení homogenní soustavy | Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy a n za počet neznámých, platí: a) Jestliže h=n, pak má homogenní soustava jediné řešení x=(0, ... ,0). b) Jestliže h<n, pak má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
Homogenní soustava lineárních rovnic | V homogenní soustavě lineárních rovnic jsou všechny pravé strany rovnic rovné nule. |
Frobeniova podmínka | Soustava lineárních rovnic (S) má řešení jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice. h = hr |
Věta o hodnosti transponované matice | Jsou-li A a A' navzájem transponované matice, jejich hodnost je stejná. |
Transponovaná matice a její hodnost | Matice A', která vznikne tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A. Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců, pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost. |
Definice determinantu 2. a 3. řádu | Determinant druhého řádu se počítá odečtením součinu položek na hlavních diagonálách. Determinant třetího řádu se dá spočítat Sarusovým pravidlem. |
Výpočet determinantů vyšších řádů | Determinant čtvrtého a vyššího řádu se dá počítat rozvojem nebo převodem na trojúhelníkový tvar. |
Věta o rozvoji determinantu | Jestliže A je čtvercová matice řádu n. pak pro i=1,...,n platí: det A = (-1)^i+1 * ai1 * subdeterminant, který vznikne z determinantu matice A po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce. |
Věta o determinantu transponované matice | Det A = det A' |
Věta o řadových úpravách determinantu | Pro řadové úpravy determinantu platí: Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant. Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko. Přičteme-li k některé řadě determinantu libovolnou lineární kombinaci řad s ní rovnoběžných, pak se hodnota determinantu nezmění. |
Věta o determinantu trojúhelníkové matice | Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, pak její determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále. |
Cramerovo pravidlo | Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x1,...,xn. Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá rozepsat ve tvaru xj = det Aj/det A (j=1,...,n), kde Aj je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy. |
Charakteristická čísla matice | Nechť A je čtvercová matice. Komplexní číslo λ vyhovující rovnici det (A - λj) = 0 se nazývá charakteristické (vlastní) číslo matice A. Rovnice det (A - λj) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A. |
Lineární kombinace vektorů | Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektoru x1,...,xr, jestliže existují reálná čísla c1, ... ,cr, z nichž alespoň jedno je je různé od nuly; (c1*x1+ ...cr*xr = O. V opačném případě jsou vektory nezávislé. |
Skalární součin | Skalární součin vektorů (x1,...,xn) a (y1,...,yn) je reálné číslo, které je definováno vztahem xy = x1*y1+ x2*y2 ... + xn*yn. |
Lineární závislost a nezávislost vektorů | Vektory x1, ... , xr se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Tedy jestliže existují reálná čísla c1, ... , cr z nichž alespoň jedno je různé od nuly: (c1 * x1 + ... + cr * xr = 0). V opačném případě jsou nezávislé. |
Nutná a postačující podmínka lineární závilosti vektorů | Vektory x1, ... , xr jsou lineárně zavislé jen tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. |
Matice | Uspořádané schéma reálných čísel se nazývá matice typu m x n. |
Rovnost matic | Matice si jsou rovné, jestliže jsou všechny složky totožné a na stejných místech. |
Čtvercová matice | Matice typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n. |
Hodnost matice | Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A se nazývá hodnost matice. |
Věta o hodnosti trojúhelníkové matice | Je-li trojúhelníková matice typu m x n, pak je její hodnost rovna počtu řádků. |
Věta o elementárních řádkových úpravách matice | Hodnost matice se nezmění, pokud v ní uděláme následující tzv. elementární řádkové úpravy: -zaměníme pořadí řádků -vynásobíme libovolná řádek nenulovým reálným číslem -přičteme k libovolnému řádku matice lin. kombinaci ostatních -vynecháme řádek matice, který je lineární kombinací ostatních |
Věta o limitě funkce typu a/0 | Jestliže lim x->c f(x) je typu "a/0", kde a ≠ 0 a funkce f je v prstencovém okolí bodu c kladná (resp. záporná), pak lim x->c f(x) = +∞, resp. lim x->c = -∞. |
Limita funkce | Nechť funkce f je definována v prestencovém okolí bodu c ∈ R*. Říkáme, že funkce f má v bodě c limitu a ∈ R*, jestliže pro každou posloupnost (xn) obsaženou v D(f)-c platí: když xn -> c, pak f(xn) -> a. |
Bolzanova věta | Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu <a,b> a f(a) * f(b) < 0, pak existuje c ∈ (a,b) takové, že funkční hodnota v bodě c je nula. |
Weierstrassova věta | Funkce spojitá v uzavřeném intervalu <a,b> má v tomto intervalu maximum i minimum. |
Spojitost elementárních funkcí | Každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je definována. |
Věta o limitě vybrané posloupnosti | Jestliže posloupnost (an) má limitu, pak každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu. |
Věta o limitě sevřené posloupnosti | Nechť (an), (bn), (cn) jsou reálné posloupnosti. Jestliže od jistého indexu n0 počínaje an ≤ bn ≤ cn a lim lim an = lim cn, pak existuje lim bn = lim an =lim cn. |
Věta o limitě konstantní posloupnosti | Je-li (an) konstantní posloupnost, tedy an = a pro n ∈ N, pak existuje lim n->+∞ an a platí lim n->+∞ an = a. |
Věta o jednoznačnosti limity | Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu. |
Okolí bodu | Otevřená interval (a-ε,a+ε), kde ε > 0, se nazývá okolí bodu a ∈ R. Interval (λ,+∞), kde λ ∈ R, se nazývá okolí bodu +∞ Interval (-∞, λ), kde λ ∈ R, se nazývá okolí bodu -∞ |
Limita posloupnosti | Říkáme, že posloupnost (an) má limitu a ∈ R*, jestliže v každém okolí bodu leží všechny členy posloupnosti an od jistého indexu n0 počínaje. |
Posloupnost | Zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R se nazývá reálná posloupnost. Vybraná posloupnost: nechť (kn) je rostoucí posloupnost přirozených čísel (indexů). Pak se posloupnost (akn) nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (an). |
Věta o limitě aritmetických operací | Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti. Pak platí: lim (an ± bn) = lim an ± lim bn lim (an * bn) = lim an * lim bn lim (an/bn) = lim an/lim bn Pokud existují lim an, lim bn a operace na pravé straně vztahů jsou definovány. |
Věta o významu 2. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f''(x) > 0, resp. f''(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je konvexní (resp. konkávní) v intervalu J. |
Co zjišťujeme u průběhu funkce? | Zjišťujeme: -Definiční obor -spojitost v D(f) -sudost, lichost, periodičnost -nulové body funkce a intervaly, ve které je kladná, popř. záporná -intervaly, ve kterých je funkce rostoucí, resp. klesající a lokální extrém -intervaly, ve kterých je funkce konvexní/konkávní a inflexní body. -limity v krajních bodech D(f) |
Průběh funkce | Zjišťujeme: |
Postačující podmínka pro lokální extrém | Nechť c je vnitřní bod D(f), ve kterém f'(c)=0. Jestliže f''(c)>0 (resp. f''(c)<0) pak funkce f má v bodě c lokální minimum (resp. lokální maximum). |
Nutná podmínka pro lokální extrém | Má-li funkce f ve vnitřním bodě c ∈ D(f) lokální extrém, pak f'(c) = 0 nebo f'(c) neexistuje. |
Lokální a absolutní extrém | Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce v bodě absolutní extrém. |
Věta o významu 1. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f'(x) > 0, resp. f'(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je rostoucí (resp. klesající) v intervalu J. |
L'Hospitalovo pravidlo | Jestliže limita podílu dvou funkcí je 0/0 nebo ∞/∞, pak se rovná podílu derivací funkcí, pokud limita na pravé straně vztahu existuje. |
Věta o vztahu derivace a spojitosti funkce | Má-li funkce f v bodě c derivaci, pak je v bodě c spojitá. |
Derivace funkce v bodě | Nechť funkce f je definována v okolí bodu c. Číslo f'(c), definované vztahem f'(c) = lim h->0+ ((c+h)-f(c))/h se nazývá derivace funkce f v bodě c. |
Geometrická interpretace derivace | Derivace funkce f v bodě c je rovna směrnici tečny grafu funkce f v bodě (c,f(c)), tedy f'(c) = tg α, kde α je úhel, který svírá tato tečna s kladnou poloosou x. Neformálně: Derivaci funkce lze definovat jako změnu – růst či pokles – obrazu této funkce, a to za předpokladu možnosti nekonečně malých změn. Pokud funkce například popisuje rychlost pohybu nějakého tělesa, derivace této funkce bude udávat zrychlení pohybu v určitém bodě. Derivace funkce je zároveň sklonem funkce v daném bodě. Na grafu ji lze proto zobrazit jako tečnu funkce v daném bodě. |
Neurčitý integrál | Libovolnou primitivní funkci k funkci f v intervalu J budeme značit∫f, resp. ∫f(x) dx a říkat jí neurčitý integrál funkce f. |
Nevlastní integrál | Nechť funkce f není v bodě a definována (resp. a= -∞) a v intervalu (a,b>k ní existuje primitivní funkce. Integrál ∫ ? ? ? , ????. ∫ ? ? −∞ , definovaný vztahem ∫ ? ? ? = ????→?+ ∫ ? ? ? , ????. ∫ ? ? −∞ = ????→−∞ ∫ ? ? ? , se nazývá nevlastní integrál funkce f vlivem dolní meze. |
Věta o aditivitě určitého integrálu | Integrály ve stejném rozsahu se dají sčítat. Pokud je funkce sudá, je výsledek kladný, pokud lichá, výsledek je 0. |
Newtonův určitý integrál a jeho geometrická interpretace | Nechť k funkci f existuje v intervalu <a,b> primitivní funkce F. Reálné číslo definované vztahem F(b)-F(a) se nazývá Newtonův určitý integrál funkce od a do b. Geometrická interpretace: Je-li funkce f v intervalu <a,b> spojitá a nezáporná, pak určitý integrál je roven obsahu plochy omezené grafem funkce f, osou x a přímkami x = a, x = b. Určitý integrál je reálné číslo. |
Věta o integraci Per Partes | Jestliže existují derivace f' a g' a integrál ∫f' g v intervalu J, pak při vhodné volbě integračních konstant je ∫f*g' = f * g - ∫f' * g |
Věta o existenci primitivní funkce | Jestliže je funkce f spojitá v intervalu J, pak k ní v tomto intervalu existuje primitivní funkce. |
Primitivní funkce | Funkce F, pro kterou platí F'(x) = f(x) pro všechna x ∈ J, se nazývá primitivní funkce k funkci f v intervalu J. Primitivní funkce k funkci f v intervalu J může, ale nemusí existoval. Jednoduchou postačující podmínkou je spojitost funkce. Jestliže f je elementární funkce a interval J je D(f), pak k funkci f v intervalu J existuje primitivní funkce. |
Věta o integraci substitucí | Jsou-li f, g funkce a f [g] jejich superpozice, pak při vhodné volbě integračních konstant platí ∫f [g] * g' = (∫f)[g], pokud tyto integrály existují. |
Lokální extrémy funkcí dvou proměnných | Nechť M je podmnožina definičního oboru funkce dvou proměnných f. Jestliže pro všechna ? = [?, ?] ∈ ? platí ?(?) ≤ ?(?), ????. ?(?) ≥ ?(?), říkáme, že funkce f má v bodě ? = [?1, ?2 ] maximum (resp. minimum) na množině M. Maximum a minimum funkce jsou tzv. extrémy funkce. Pozn. Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce f v bodě C absolutní extrém. |
Výpočet absolutních extrémů spojité funkce na kompaktní množině s vnitřními body | Extrémy spojité funkce na neprázdné kompaktní množině podle zobecněné Weierstrassovy věty existují. Postup: 1) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny (nutná podmínka) 2) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny 3) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech a vybereme z nich největší a nejmenší |
Postačující podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Nechť C je vnitřní bod D(f), ve kterém f´(C)=(0,0) a funkce dvou proměnných f má v okolí bodu C spojité druhé parciální derivace: D1 = druhá parc. derivace z x D2 = determinant druhých parciálních derivací Jestliže obě čísla jsou kladné, v bodě leží lokální minimum. Jestliže je D2 kladné a D1 záporné, pak zde leží lokální maximum. Pokud je D2<0, v bodě C není lokální extrém. |
Nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Má-li funkce dvou proměnných ve vnitřním bodě C ∈ D(f) lokální extrém a existuje derivace f´(C), pak f´(C)=(0,0). |
Parciální derivace | Nechť f je funkce dvou proměnných. Funkce dvou proměnných ??? ,resp. ??? definovaná předpisem ???(?, ?) = ?´ 1 (?), ????. ???(?, ?) = ?´ 2 (?) se nazývají parciální derivace funkce f podle x (resp. y). Funkce ?1 (????. ?2) je zúžení funkce f na funkce jedné proměnné x (resp. y). |
Zobecněná Weierstrassova věta | Funkce dvou proměnných spojitá v neprázdné kompaktní množině má na této množině maximum a minimum. Důležitá pro vyšetřování extrémů funkce dvou proměnných. |
Množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní | Nechť M náleží R^2. Množina M se nazývá: Otevřená, jestliže neobsahuje žádný hraniční bod. Uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Omezená, jestliže je podmnožinou okolí nějakého bodu. Kompaktní, jestliže je uzavřená a omezená. |
Reálná funkce dvou reálných proměnných | Zobrazení f: A -> R, kde A náleží R^2, tedy zobrazení podmnožiny R^2 do množiny reálných čísel, se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. |
Diferenciální rovnice n-tého řádu | Rovnice pro neznámou funkci y jedné reálné proměnné x, ve které se také vyskytují její derivace, se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu. |
Obecné a partikulární řešení | Obecné řešení = všechna řešení rovnice Partikulární = konkrétní řešení vzhledem k počáteční podmínce |
Počáteční podmínky | Z vět o obecném řešení lineární dif. rovnice a zkrácené lineární dif. rovnice plyne, že (Ln) ná nekonečně mnoho řešení. Pro rovnice tohoto typu platí: Jestliže k lineární diferenciální rovnici n-tého řádu přidáme n počátečních podmínek, pak řešení této rovnice je jednoznačné. |
Věta o obecném řešení lineární diferenciální rovnice | Obecné řešení lineární diferenciální rovnice je součet partikulárního řešení této rovnice a obecného řešení odpovídající rovnici zkrácené. Můžeme ji psát jako Obecné řešení (Ln) = partikulární řešení (Ln) + obecné řešení (Zn). |
Věta o obecném řešení zkrácené lineární rovnice | Obecné řešení zkrácené lineární dif. rovnice n-tého řádu (Zn) je lineární kombinace lineárně nezávislých řešení této rovnice. |